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Table ronde – Contribution de Jean-Pierre Demailly

Que veut-on enseigner, pourquoi et pour qui ?

 

Table ronde sur les contenus :
Que veut-on enseigner, pourquoi et pour qui ?

Contribution de Jean-Pierre Demailly
Acad√©mie des Sciences ; Professeur √† l’Universit√© de Grenoble I (Institut Fourier)

JP Demailly

Les math√©matiques sont aujourd’hui utilis√©es de mani√®re quasi-universelle dans la conception et la production des objets de la technologie moderne. Que ce soit de mani√®re directe par des mod√©lisations num√©riques ou de mani√®re indirecte par leur intervention comme outil et comme langage dans les autres sciences de la nature, les math√©matiques sont partout, souvent √† l’insu des usagers et des citoyens. Quoique plusieurs fois mill√©naire, la science math√©matique conna√ģt encore aujourd’hui des avanc√©es et des utilisations nouvelles spectaculaires, sans que le rythme des d√©couvertes ne paraisse faiblir. Pour ne citer que deux exemples parmi beaucoup d’autres, c’est en 2003 que le math√©maticien russe G. Perelman est finalement parvenu √† r√©soudre la conjecture de Poincar√© caract√©risant la sph√®re de dimension 3, en utilisant de mani√®re essentielle les √©quations de la relativit√© g√©n√©ralis√©e d’Einstein. Ces r√©sultats d’une grande beaut√© conceptuelle, qui couronnent un si√®cle d’efforts dans plusieurs branches des math√©matiques, sont riches de cons√©quences pour de nombreux domaines de la science, depuis la topologie diff√©rentielle jusqu’√† la physique math√©matique, en passant par la th√©orie des √©quations aux d√©riv√©es partielles. Dans un domaine plus proche des applications, nous avons eu l’occasion d’entendre il y a quelques jours √† l’Acad√©mie des sciences un magnifique expos√© de Claude Berrou, expliquant comment les turbo-codes - une classe de codes correcteurs d’erreur - intervenaient de mani√®re essentielle pour assurer une transmission fiable des messages en t√©l√©phonie mobile, d√©montrant ainsi l’impact direct sur la vie quotidienne de certaines structures math√©matiques impliqu√©es dans la th√©orie de l’information.

Il n’y a donc aucun doute que les math√©matiques devront √™tre encore √™tre enseign√©es pour longtemps, √† tous les niveaux de la connaissance, bien entendu sous des formes adapt√©es aux publics √† qui elles sont destin√©es. Cependant, et peut-√™tre davantage encore que dans les autres sciences, les avanc√©es r√©centes ne peuvent en g√©n√©ral √™tre enseign√©es qu’au niveau de la recherche, et n’ont donc pas vocation √† √™tre introduites en tant que telles dans les cursus scolaires. Les connaissances math√©matiques se contruisent en effet les unes √† partir des autres de mani√®re pyramidale : il est par exemple impossible d’aborder l’√©tude des fonctions si on ne conna√ģt pas d√©j√† la num√©ration et les op√©rations arithm√©tiques ; de m√™me, l’√©tude du calcul vectoriel ne peut √™tre entrepris si on n’a pas d√©j√† quelques notions d’alg√®bre et de g√©om√©trie. Cela para√ģtra peut-√™tre paradoxal au profane, mais l’essentiel des connaissances enseignables au coll√®ge √©tait d√©j√† connu des Grecs et en tout cas de Descartes au XVIIe si√®cle, et on pourrait fort bien construire des contenus d’enseignement tr√®s riches pour le lyc√©e en se contentant des math√©matiques d’Euler de la fin du XVIIIe si√®cle.

Ce jugement est √† temp√©rer par le fait que le langage et le symbolisme math√©matique ont sensiblement √©volu√© depuis cette √©poque, et que la mise au point de puissantes synth√®ses g√©n√©ralisant les th√©ories ant√©rieures permet parfois d’aborder les concepts de mani√®re plus concise et plus efficace. Dans cette direction, je voudrais ici dire quelques mots de la r√©forme des « math√©matiques modernes » intervenue au d√©but des ann√©es 1970. C’est devenu aujourd’hui un lieu commun de d√©crier cette r√©forme, mais en r√©alit√© elle a comport√© plusieurs volets dont certains √©taient tout √† fait positifs. En particulier, la r√©forme propos√©e par la commission Lichnerowicz avait introduit dans les diff√©rentes s√©ries du Lyc√©e des programmes qui √©taient √† la fois riches, rigoureux et bien construits. Sans doute avaient-ils quelques d√©fauts, comme par exemple l’exc√®s d’alg√®bre lin√©aire g√©n√©rale au d√©triment de la g√©om√©trie euclidienne classique ; il est √©galement possible que ces programmes aient √©t√© un peu trop ambitieux sur le plan th√©orique. N√©anmoins mon souvenir est que les √©l√®ves des s√©ries scientifiques qui avaient subi un solide enseignement de g√©om√©trie traditionnelle au coll√®ge s’accommodaient fort bien de ces programmes, qui, en outre comportaient des contenus largement suffisants pour l’√©tude des sciences physiques. La r√©forme des math√©matiques modernes a commenc√© √† d√©raper s√©rieusement lorsque les programmes ont abouti √† proposer un enseignement beaucoup trop formel de th√©orie des ensembles d√®s le coll√®ge, et m√™me d√©j√† √† l’√©cole primaire ou √† la maternelle ! Or, au milieu des ann√©es 1980, le d√©clin qualitatif de l’√©cole primaire et du coll√®ge provoqu√© par de multiples r√©formes r√©gressives (recul sensible des contenus en primaire, enseignement trop th√©orique au coll√®ge, surtout dans le contexte du coll√®ge unique instaur√© par la loi Haby en 1975...) rendaient les programmes de lyc√©e intenables - apr√®s tout de m√™me plus d’une douzaine d’ann√©es de bons et loyaux services. Ce fut donc la r√©forme Chev√®nement de 1985, qui, dans un grand mouvement de balancier, a conduit √† vider les contenus th√©oriques ‚Äď pour ne pas dire les contenus tout court ‚Äď des programmes de sciences du lyc√©e. Les r√©formes suivantes, issues en particulier de l’adoption de la seconde indiff√©renci√©e et de la loi Jospin, n’ont fait que confirmer ces tendances g√©n√©rales r√©gressives. Celles-ci ont souvent √©t√© men√©es de concert au niveau international, et la plupart des pays europ√©ens et occidentaux ont donc suivi des chemins analogues, de sorte que pour redresser la situation il serait aujourd’hui beaucoup plus utile de regarder ce qui se passe en Inde, en Chine ou dans les pays asiatiques performants (Cor√©e, Singapour, Taiwan ‚Ķ) que de faire du nombrilisme europ√©en.

De cette discussion g√©n√©rale, je voudrais retenir plusieurs points importants :

- La progression actuelle des programmes de math√©matiques (et de sciences) est d√©s√©quilibr√©e entre les diff√©rents cycles d’enseignement. Le rythme et les contenus sont aujourd’hui devenus insuffisants √† l’√©cole primaire et surtout au coll√®ge ; m√™me si le groupe d’experts des programmes de math√©matiques du Lyc√©e a tent√© en 2000 de pr√©server des contenus substantiels, l’h√©t√©r√©g√©n√©√Įt√© des √©l√®ves et l’insuffisance des horaires de sciences, notamment dans le tronc commun de la s√©rie S, font que ces contenus ne peuvent √™tre tenus. Il en r√©sulte une situation tout √† fait catastrophique √† l’universit√© : il y est devenu impossible de rattraper le temps perdu, surtout dans un contexte o√Ļ les meilleurs √©tudiants √©chappent √† l’universit√©. La formation des professeurs est sinistr√©e, en particulier au niveau du CAPES o√Ļ les connaissances de base d’une majorit√© de candidats sont devenues tr√®s lacunaires. Nous sommes donc entr√©s dans un cercle vicieux o√Ļ le renouvellement des connaissances d’une g√©n√©ration sur l’autre risque de ne plus √™tre assur√©. Or, l’exp√©rience men√©e actuellement dans les classes primaire SLECC (environ 75 classes r√©parties sur le territoire, comprenant des √©l√®ves non s√©lectionn√©s) montre qu’il est tout √† fait possible de r√©introduire des contenus riches, avec les √©l√®ves tels qu’ils sont aujourd’hui. Les classes du r√©seau SLECC traitent par exemple en parall√®le la num√©ration et les 4 op√©rations d√®s le cours pr√©paratoire ; les √©l√®ves r√©solvent de nombreux probl√®mes et les algorithmes op√©ratoires peuvent √™tre appris de mani√®re compl√®te et performante au cours des ann√©es qui suivent. A l’√©vidence, il y aurait besoin d’une volont√© politique forte pour poursuivre cette exp√©rience √† une √©chelle beaucoup plus grande et sur l’ensemble des cycles scolaires, en liaison avec une r√©habilitation g√©n√©rale de l’enseignement des sciences.

- L’un des √©cueils actuels est que le mouvement de balancier qui a rejet√© les math√©matiques modernes a abouti √† √©liminer aussi des programmes l’enseignement d’un vocabulaire et d’un formalisme qui √©taient bien utiles, ne serait-ce que pour pouvoir formuler les questions que l’on se pose, et afin de disposer d’un support ad√©quat pour leur donner des r√©ponses pr√©cises. Il ne faut pas oublier que « formaliser » un probl√®me - c’est-√†-dire traduire les donn√©es du probl√®me en langage math√©matique pr√©cis - est peut-√™tre la premi√®re √©tape, la plus √©l√©mentaire, de l’activit√© de mod√©lisation. Or il est patent aujourd’hui que beaucoup des √©tudiants de l’universit√© ne connaissent pas les rudiments les plus basiques du langage math√©matique et de la logique √©l√©mentaire. Il me semble donc qu’il convient de r√©enseigner le langage des ensembles d√®s le d√©but du coll√®ge ‚Äď les notions d’appartenance, de r√©union, d’intersection de diff√©rence - par exemple en liaison avec l’√©tude des nombres et la g√©om√©trie √©l√©mentaire o√Ļ ces notions apparaissent naturellement. De ce point vue l’introduction de l’informatique « scientifique » au Lyc√©e ‚Äď sous forme d’un enseignement de la programmation ‚Äď est une chance pour les math√©matiques. Ceci, √† condition qu’il ne s’agisse pas d’une simple manipulation de l’outil ‚Äď les calculettes utilis√©es comme simples proth√®ses de calcul sont clairement n√©fastes pour les √©l√®ves, surtout si elles sont utilis√©es avant que la compr√©hension des algorithmes s’installe. Ce dont il doit s’agir, au contraire, est la compr√©hension fine des conditions logiques, des algorithmes, de la r√©cursivit√©, qui ont un lien fort avec les math√©matiques. De m√™me le codage binaire permet de faire le lien avec l’arithm√©tique (num√©ration dans des bases autre que 10) et l’alg√®bre de Boole.

- Plus encore que pour les autres disciplines, du fait de leur caract√®re « pyramidal », les math√©matiques ont besoin d’√™tre enseign√©es de mani√®re progressive et coh√©rente. On ne peut par exemple pas dissocier l’alg√®bre de la g√©om√©trie, ou le calcul num√©rique de l’analyse. Il y a un besoin tr√®s fort de continuit√© p√©dagogique, √† la fois dans les notations, dans l’encha√ģnement des d√©finitions et des concepts. On peut √©galement noter un besoin de coordination fort entre les math√©matiques et les sciences physiques, si, comme il est indispensable, on veut faire en sorte que chaque discipline puisse enrichir l’autre par un effet de synergie. Le mod√®le √©ducatif qui consiste √† d√©couper les enseignements en modules ind√©pendants et √©ventuellement optionnels r√©v√®le alors tr√®s vite ses limites. Dans ces conditions, de l’avis d’une majorit√© de coll√®gues concern√©s, la mise en place du LMD √† l’Universit√© a pos√© des probl√®mes p√©dagogiques redoutables et est source de tr√®s nombreuses difficult√©s pour l’enseignement des math√©matiques et des autres sciences. Pour cette raison fondamentale, je suis extr√™mement inquiet du projet de r√©forme de Lyc√©e qui se d√©gage des propositions du recteur Jean-Paul de Gaudemar et des orientations minist√©rielles. L’id√©e m√™me de concevoir l’enseignement des sciences sous une forme modulaire est une fausse piste ‚Äď √† moins qu’on ne renonce √† ce que devrait √™tre l’enseignement des sciences pour n’en retenir qu’un projet d’inculcation d’une tr√®s vague « culture scientifique », selon une terminologie √† la mode ...

- Il y a d’autres raisons importantes qui font que le maintien de s√©ries diff√©renci√©es serait indispensable pour la fili√®re g√©n√©rale du Lyc√©e (et ce qui vaut pour la fili√®re g√©n√©rale vaut sans doute aussi pour les fili√®res techniques et professionnelles). Cela tient au fait que le syst√®me √©ducatif doit faire cohabiter des √©l√®ves dont les go√Ľts, les projets professionnels ou les aptitudes peuvent √™tre assez diff√©rents. Suivant les profils, la r√©ponse √©ducative et l’√©tat d’esprit de l’enseignement pourra varier du tout au tout : ainsi, la demande des √©l√®ves se destinant √† une carri√®re scientifique est clairement diff√©rente de celle des √©l√®ves qui con√ßoivent au mieux les math√©matiques comme un objet de culture g√©n√©rale. Le rythme, le niveau d’approfondissement doivent √™tre adapt√©s en cons√©quence Vouloir faire cohabiter ces diff√©rents publics dans un tronc commun rel√®ve de la gageure, voire de l’impossibilit√© fonctionnelle, et va engendrer un effet accentu√© de nivellement par le bas, donc des pertes de temps et d’efficacit√© consid√©rables. Pour toutes ces raisons imp√©rieuses, le Comit√© sur l’Enseignement des Sciences de l’Acad√©mie des Sciences avait cru bon de recommander, dans son rapport d’√©tape remis au Ministre le 15 juillet 2008, le maintien du principe de la diff√©renciation des s√©ries du lyc√©e g√©n√©ral. Le rapport du Comit√© allait m√™me plus loin en recommandant la r√©introduction d’une diff√©renciation lettres-sciences d√®s l’entr√©e en seconde (et en appelant de ses voeux une r√©habilitation du coll√®ge permettant aux √©l√®ves de faire un choix raisonn√© √† l’issue de celui-ci).

- Il faudrait mener des efforts beaucoup plus vigoureux en direction de la formation des ma√ģtres, √† la fois en ce qui concerne la formation initiale et la formation continu√©e. Ceci prend √©videmment un caract√®re de n√©cessit√© encore plus grand si l’on souhaite introduire des enseignements nouveaux comme l’informatique. Or, la formation initiale ne peut retrouver son lustre que si on fait en sorte que l’universit√© soit de nouveau en mesure d’assurer des enseignements de qualit√©, ce qui suppose qu’une offre de contenus de bon niveau puisse se d√©velopper d√®s les premiers cycles universitaires, et que les √©l√®ves et √©tudiants soient s√©rieusement √©valu√©s et orient√©s √† tous les √©tages de leur parcours. On en est aujourd’hui tr√®s loin, et des moyens importants tout autant qu’un changement consid√©rable de l’√©tat d’esprit paraissent n√©cessaires au plus haut niveau politique. Afin de combattre la d√©saffection pour les sciences et d’attirer de bons √©tudiants dans les fili√®res de formation de professeurs, il a √©t√© propos√© √† plusieurs reprises dans les derni√®res ann√©es d’instituer des bourses de pr√©-recrutement de type IPES. Cette proposition √©tait en particulier inscrite dans les recommandations de l’Acad√©mie des Sciences sur la formation des enseignants, en date du 13/11/2007. Parall√®lement, le rapport de l’Acad√©mie appelait √† la mise en place de moyens substantiels pour la formation continu√©e des enseignants. Ceci suppose la d√©finition de missions pr√©cises et explicites pour les universit√©s, et simultan√©ment, un contingent nettement accru de d√©charges pour les coll√®gues du secondaire. Dans cette direction, les IREM ont jou√© un r√īle pionnier de r√©flexion depuis de nombreuses ann√©es, et il serait dommage de laisser perdre cette exp√©rience.


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